Poisson Process

卜瓦松過程。蒲松過程。

深奧、真是深奧。

重新複習Poisson Process一下，這個隨機程序在Queueing Theory裡面相當重要，Poisson Process的定義大概是這樣：如果隨機變數X(t) 是計算從0到t的次數，則此隨機程序的分布情形為Poisson Distribution，則成為Poisson Process。換句話說，Poisson Process是一個counting process。

有兩個觀點來解釋Poisson Process。

FIRST

視為Binomial Distribution的特例之一。假設在(0,t)之間切割很多slot，在這些slot當中任意放置一點(稱為success，每個slot僅能有一個success)，其放置的機率為p，則在n個slot中發生k個success的機率為Binomial Distribution。

當增加slot的數目，也就是n增加；同時減少發生success的機率，也就是p下降，最後可以得到Poisson Distribution的情形，這樣將構成Poisson Process。意思是說：Poisson Process可以視為是很多很多Bernoulli Trial的集合結果。

這個結果有點像是推導Poisson Random Variable的時候所看到的。

SECOND

視為是一個Counting Process，這個觀點比較常在書上看到(通常是推導Poisson Process的章節)。

先計算從時間0到時間t的arrival數量，

有假設條件：

1. 在Δt=0中的機率=1-λΔt+o(Δt)
2. 在Δt=1中的機率=λΔt+o(Δt)：意思是機率和時間成正比，時間越長，發生的機會越大。
3. 在Δt>=2中的機率=o(Δt)：意思是兩個時間以上發生的機會是零，因為已經發生過了，換句話說，在同一時間當中發生兩次以上機會是零。

其中o(Δt)是當Δt→0的時候，o(Δt)除以Δt是0

另外假設：arrival的數量是不會在區間重覆的，也就是statistically independent，具備stationary increment。意思是不同區間的累計是獨立互不相關。

經過推導之後會發現，這個程序是Poisson Process。

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補充：可以參考"Poisson 分配、指數分配與排隊理論(作者：翁秉仁)"這篇文章。

有感覺嗎？Poisson Process到底是什麼感覺。

神啊，告訴我什麼是Poisson的感覺阿？過了很久還是不了解啊！另外，Poisson Process還跟Exponential Dirtribution有關係。這......

該是放下的時候嗎？這是最後一步了。

因為

面對它‧接受它‧處理它‧放下它