Random Variables與Stochastic Processes

隨機變數(Random Variables)
A random variables is a function that reflects the result of a random experiment.

隨機變數：將我們所關注的實驗結果，映射(轉換、對應，或用mapping概念)至一個變數，這個方式的函數就是隨機變數。所以，隨機變數根本不應該稱為"變數"，隨機變數是函數的概念。用微積分的function來學習隨機變數會比較容易懂啊！

依照隨機變數的值來分類，可以區分為：

1. Discrete Random Variable離散型的隨機變數
   由probability mass function(pmf)來描述這種隨機變數
2. Continuous Random Variable連續型的隨機變數
   由cumulative distribution function(CDF，或簡稱distribution function)來描述這種隨機變數，另外CDF對變數的微分則成為probability density function(pdf)。

注意不要把pmf和pdf搞混在一起，兩者個觀念是不一樣的。

當我們考慮的是多個隨機變數(multiple random variables)，則會用joint probanility mass function(pmf)或是joint cumulative distribution function(CDF)來描述 。

還有Continuous Random Variable在某一點(sample space)的機率值會是零，因為Continuous Random Variable探討的是一段區間當中所發生的機率，而且這個區間包含無窮多個點，因此而發生的機會是零。

隨機程序(Stochastic Processes)
A stochastic process is defined as a family of random variable {Xt:t ∈ T} where each random variable Xt is indexed by parameter t ∈ T, which is usually called the time parameter if T ⊆ R+=[0,∞). The set of all possible values of Xt (for each t ∈ T) is known as the state space S of the stochastic process.

隨機程序：或稱之為隨機過程。簡單的來說，就是一連串的隨機變數，而這些隨機變數是由另一個參數來挑選(索引indexed)，通常此參數index是以時間來選取，所以隨機程序才跟時間有關。

此外，這些隨機變數所構成的集合稱為state space，而這"一連串的隨機變數"之間，其中每個隨機變數又會和其他隨機變數有數學關係，因而會有conditional probability。

依照index的不同(所構成的index set或parameter space)，可以分為兩種隨機程序：

• discrete-parameter stochastic process(或是discrete-time)
  其index set(或稱為parameter space)是可以計數的( countable sequence)
  
• continuous-parameter stochastic process(或是continuous-time)
  其index set(或稱為parameter space)是一個區間(interval)或著區間的代數組合(algebraic combination of intervals)

依照上述的分類，我們可以把一個隨機程序依照下表所示區分：

State Space	Type of Parameter
	Discrete	Continuous
Discrete	Discrete-parameter chain	Continuous-parameter chain
Continuous	Discrete-parameter stochastic process	Continuous-parameter stochastic process

注意，如果state space是discrete的話，我們稱這樣的隨機程序為chain(鏈)，也就是以後會提到的Markov chain(馬可夫鏈)是其中之一。換句話說，此 state space是由discrete random variable所組成的。